Hayatımızın vazgeçilmezi BEKLENTİ

Farkına varmasak da hepimiz sürekli beklenti hesapları yaparız. Örneğin para kazanmak için yollara düşüp cüzdan aramaya kalkışmayız, çünkü yolda cüzdan bulmak imkansız değilse de gerçekleşme olasılığı çok düşüktür, hele cüzdandan çok para çıkma olasılığı daha azdır. Cüzdan bulmaya harcadığımız zamanı sokaklarda limonata satmaya çalışarak geçirmek daha akıllıca bir plandır.
Barbut. Bir örnekle başlayalım. Size  şöyle bir zar oyunu öneriyorum: Zar atacaksınız, şeş(6) gelirse size 2 lira vereceğim, gelmezse siz bana 1 lira vereceksiniz.
Bu oyunu oynamak istemezsiniz herhalde. Her ne kadar kazandığınızda kaybedeceğinizin iki katı para alacaksanız da, kazanma olasılığınız sadece 1/6’dır.
Peki şeş gelirse size 3 lira versem oyunu kabul eder misiniz? Ya da 4 lira versem? 100 lira verecek olsam elbette kabul edersiniz. Şeşe en az kaç lira verirsem bu oyunu oynamayı kabul edersiniz?
Bu sorunun yanıtı beklenti kavramında gizlidir. Eğer oyunun beklentisi negatifse oyunu kabul etmemelisiniz. Oyunun beklentisi pozitifse kabul etmelisiniz. Tabii kumarla ilgili etik bir sorununuz yoksa… Oyunun beklentisi 0 (sıfır) ise oynasanız da olur, oynamasanızda…
Bir oyunun beklentisi, bir oyuncunun o oyunda ortalama ne kadar kazanacağını ya da ne kadar kaybedeceğini gösteren bir sayıdır. Kumar oynamaya yeltenen her kişi beklentinin ne demek olduğunu bilmelidir. İşbu yazının amacı beklentinin matematiksel tanımını yapıp yararlarını göstermektir.
Piyango. Diyelim çevredeki yoksullara yardım etmek için bir piyango çekilişi düzenlemeye yeltendiniz. Toplam 100 bilet basacaksınız ve her bileti 10 liradan satacaksınız. Ve diyelim,
1 bilete 200 lira çıkacak,
2 bilete 100 lira çıkacak,
4 bilete 50 lira çıkacak ve
8 bilete de 10 lira (yani amorti)
çıkacak.
Aynı bilete iki ya da daha fazla ikramiye çıkmasına kuralların izin vermediğini varsayalım.
Bu durumda, biletlerin tümünü sattığınızı varsayarak, cironuz,
100 x 10 = 1000
lira olur. Ama elde ettiğimiz bu paranın bir kısmını ikramiye olarak şanşlı müşterilerinize geri vereceksiniz. Şanşlılara ödeyeceğiniz para,
1 x 200 = 200
2 x 100 = 200
4 x 50 = 200
8 x 10 = 80
Toplam  = 680
liradır. Demek ki tüm biletler satılırsa,
1000 – 680 = 320
para kazanazaksınız. 100 bilet sattığınızdan, bilet başına
320/100 = 3.20
kazanacaksınız, bir başka deyişle, biletleri satın alan kişilerden ortalama 3.20 lira kazanacaksınız.
Şimdi de kendimizi bilet satın almaya karar verecek kişinin yerine koyalım. Büyük ikramiye %1 olasılıkla bize çıkacak ve 190 lira kazanacağız, çünkü her ne kadar büyük ikramiye 200 lira ise de 10 liramızı bileti almak için harcadık.
% 1 olasılıkla 190
% 2 olasılıkla 90
% 4 olasılıkla 40
% 8 olasılıkla 0
ve geri kalan
% 85 olasılıkla -10
kazanacağız. Bu durumda beklentimiz
\frac{1}{100} x 190 + \frac{2}{100} x 90 + \frac{4}{100} x 40 + \frac{8}{100} x 0 + \frac{85}{100} x (-10)
yani
\frac{190+180+160+0-850}{100} = \frac{530-850}{100} = \frac{-320}{100} = -3.20
olur. Bu da tam tamına, bilet başına kazanmayı düşündüğümüz miktarın negatifidir.
Barbuta geri dönüş. Zar atacaksınız. Şeş gelirse 2 lira alacaksınız. Ama şeş gelmezse 1 lira kaybedeceksiniz. Bu oyunun beklentisinin negatif olduğu belli de bakalım ne kadar negatif.
1/6 olasılıkla şeş gelecek ve 2 lira kazanacaksınız ama 5/6 olasılıkla şeş gelmeyecek ve 1 lira kaybedeceksiniz(bir başka deyişle -1 lira kazanacaksınız). Demek ki beklentiniz,
\frac{1}{6} x 2 + \frac{5}{6} x (-1) = \frac{2-5}{6} = \frac{-3}{6} = \frac{-1}{2} = -50
kuruş olur.  Bu da şu demektir: Oynadığınız oyun başına 50 kuruş kaybetmeyi göze almalısınız. Bir iki oyunda şansınız yaver gider ve üç beş kuruş kazanabilirsiniz belki ama uzun dönemde oyun başına 50 kuruş kaybetmeye mahkumsunuz. (Her ne kadar şair, “in the long run we are all dead” demişse de…)
Eğer enayi bir kumarhaneciye rastlamamışsanız, kumarhanelerde kumarhaneye karşı oynanan her oyunun beklentisi müşteri için negatiftir.
Rulet. Rulet şekildeki gibi bir masanın etrafında oynanır. Bir de içinde küçük bir top olan çarkıfelekteki gibi bir teker vardır. Teker, eşit olduğu varsayılan 37 parçaya bölünmüştür. Her parçada 0’dan 36’ya kadar sayılar ve her sayının önünde topun içine düşebileceği büyüklükte bir yuva vardır. Sayıların 18’i kırmızı, 18’i siyahtır. Sadece 0 (sıfır) sayısı yeşildir. Güzel kızlar içki servisi yaparken teker döndürülür ve hemen sonra top ters istikamete atılır. Bir zaman sonra top yuvaların birine düşer. Topun düştüğü yuvanın sayısı oyunun sonucudur.
Teker dönerken oyuncular iddialarını yaparlar. Birkaç değişik iddia vardır:
1. Bir sayıya oynama. Paranızı, 0(sıfır) dahil, belli bir sayının üstüne koyabilirsiniz. Eğer o sayı gelirse koyduğunuzun 36 katını alırsınız.
2. İki sayıya oynama. Paranızı içinde sayı olan iki dikdörtgenin tam ortasına yerleştirebilirsiniz. Eğer o sayılardan biri gelirse koyduğunuzun 18 katını alırsınız.
3. Üç sayıya oynama. Paranızı üç sayılı bir sıranın kenarına koyabilirsiniz, örneğin 10-11-12 sırasının kenarına. Bu üç sayıdan biri gelirse koyduğunuzun 12 katını alırsınız.
4. Dört sayıya oynama. Paranızı, içinde sayı bulunan dört dikdörtgenin birbirine dokunduğu orta noktaya koyarsanız ve bu dört sayıdan biri gelirse, koyduğunuzun 9 katını alırsınız.
5. Altı sayıya oynama. Paranızı iki komşu sıranın ortasına koyarsanız ve o iki sıranın içindeki 6 sayıdan biri gelirse, koyduğunuzun 6 katını alırsınız.
6. On iki sayıya oynama. Paranızı masanın solundaki “İlk 12”, “İkinci 12”, “Son 12” kutularından birine ya da en aşağıdaki “2’ye 1” yazan üç kutudan birine koyarsanız, o sıra ya da o sütundaki 12 sayıdan biri gelirse, koyduğunuzun 3 katını alırsınız.
7. On sekiz sayıya oynama. Paranızı masanın en solundaki 1-18, 19-36, Tek, Çift, Siyah ya da Kırmızı yazan dikdörtgenlerden birine koyarsanız ve iddia ettiğiniz sayılardan biri gelirse, koyduğunuzun 2 katını alırsınız.
Aynı anda birkaç değişik yere birden para yatırabilirsiniz. Beklentinizin değişmediğini, hep -1/37 kaldığını göreceksiniz.
Diyelim bir sayıya, örneğin 17 numaraya 1 lira yatırdık, yani birinci stratejiyi izledik. O zaman 1/37 olasılıkla 17 gelir ve 36 – 1 = 35 lira kazanırız. Ama 36/37 olasılıkla 17 gelmez ve yatırdığımız 1 lirayı kaybederiz. Bu durumda beklentimiz,
(1/37)x35 + (36/37)x(-1) = -1/37
olur.Negatif olduğundan pek iyi bir beklenti sayılmaz.
İkinci stratejiyi deneyelim. 17 ve 18’in arasına 1 lira koyalım.
2/37 olasılıkla 17 ya da 18 gelecek ve 18-1 = 17 lira kazanacağız. Ama (kötü haber!) 35/37 olasılıkla 17 ya da 18 gelmeyecek ve 1 lira laybedeceğiz. Bu durumda beklentimiz,
(2/37)x17+(35/37)x(-1) = -1/37 olur. Gene!
Son stratejiyi deneyelim. Diyelim siyahlara 1 lira koyduk. 18/37 olasılıkla bir siyah gelir ve 2 – 1 = 1 lira kazanırız, ama 19/37 olasılıkla siyah gelmez (kırmızı ya da 0 gelir) ve 1 lira kaybederiz. Bu durumda beklentimiz,
(18/37)x1 + (19/37)x(-1) = -1/37 olur. Gene!
Ne yaparsanız yapın, hangi stratejiyi izlemeye karar verirseniz verin, ki birkaç stratejiyi birden aynı anda kullanabilirsiniz, beklentiniz hep -1/37 çıkar. Bunun anlamı şudur: Eğer bütün bir gece boyunca rulet masasına 37.000 lira yatırmışsanız ve şanşlar eşitse, yani ne şanşlı ne şanşsızsanız, o zaman bu paranın aşağı yukarı 37’de 1’ini, yani 1000 lira kaybetmeye mahkumsunuz.
Üstelik ABD’ de rulet masasında bir de 00 (çift sıfır) sayısı vardır ve bu yüzden ABD’de beklenti daha da negatif olur.
Prof. Dr. Ali Nesin’in NTV Bilim Dergisi’nin 19. sayısındaki (Eylül 2010) yazısından alınmıştır.
Advertisements

About kaanmutlu

Software Developer - Computer Engineer from Istanbul, Turkey
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Hayatımızın vazgeçilmezi BEKLENTİ

  1. Taha says:

    ben de beğendim kankaa :)) güzel yazı. Expected Value’ya bakış açısı güzelmiş.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s